Matemáticas Recreativas

Asalto al Blog
De la REVISTA ESCOLAR de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática (Número 13, Mayo-Junio de 2004) sección “Divertimentos matemáticos” (Referencia a John Barrington - seudónimo de Ian Stewart)


Algunos métodos matemáticos para cazar leones
Recopilación Francisco Bellot Rosado

En 1938, se publicó en la revista American Mathematical Monthly un memorable artículo, titulado A contribution to the mathematical theory of big game hunting, bajo el nombre de H. Pétard. La referencia completa es H. Pétard, A contribution to the mathematical theory of big game hunting, A.M.Monthly 45 (1938), pp.446-447. En este artículo se formulaba el problema en la forma siguiente:


En el desierto del Sahara hay leones. Descríbanse métodos para cazarlos, y se daban 10 soluciones matemáticas y algunas otras físicas.


En 1995, la Mathematical Association of America, editora del Monthly, publicó en su colección ”Dolciani Mathematical Expositions”, nº 15, el libro dedicado a la memoria de Ralph P. Boas, Jr. Lion Hunting & other mathematical pursuits, con Gerald L.Alexanderson y Dale H. Mugler como editores (Boas había muerto en 1992). De esta fuente tomamos los métodos que más adelante citaremos.


H. Pétard es un matemático apócrifo. Fue creado por Ralph P. Boas y Frank Smithies durante el curso académico 1937-38 en Princeton, donde ambos habían coincidido, Boas en la Universidad y Smithies en el Instituto de Estudios Avanzados. El artículo fue enviado al Monthly bajo el nombre de E. S. Pondiczery, un supuesto matemático polaco que indicaba prefería se publicase bajo el seudónimo de H. Pétard. Una vez publicado, tuvo un enorme éxito y gran difusión, y posteriormente se publicaron nuevos métodos de varios otros autores. Parece que las primeras versiones de los ”métodos matemáticos para la caza mayor” aparecieron de forma anónima en la Universidad de Göttingen (Alemania). El artículo de H. Pétard comienza así :


Esta disciplina matemática poco conocida no ha recibido, en los últimos años, la atención de la bibliografía que, creemos, se merece. En este artículo presentamos algunos algoritmos que, esperamos, puedan resultar interesantes a otros investigadores en este campo. Dejando aparte los métodos más obviamente triviales, limitaremos nuestra atención a los que suponen aplicaciones significativas de ideas familiares a matemáticos y físicos.”


Método 1 (de Hilbert, o axiomático)

Colocamos una jaula cerrada en un punto dado del desierto de Sahara. Introducimos el siguiente sistema lógico:

AXIOMA 1: El conjunto de los leones del desierto de Sahara no es vacío.
AXIOMA 2: Si hay un león en el desierto de Sahara, el león está en la jaula.
REGLA DE PROCEDIMIENTO: Si p es un teorema, y ”p implica q” es un teorema, entonces q es un teorema.
TEOREMA 1: Hay un león en la jaula.

Método 2 (por inversión)

Colocamos una jaula esférica en el desierto, entramos en ella, y la cerramos. A continuación, realizamos una inversión con respecto a la jaula. El león queda dentro de la jaula, y nosotros, fuera.

Método 3 (de Bolzano-Weierstrass)

Bisecamos el desierto por una recta en la dirección Norte-Sur. El león estará en la porción Este o en la porción Oeste; supongamos que está en esta última. Bisecamos esta porción por medio de una recta en la dirección Este-Oeste. El león estará en la porción Norte o en la Sur; supongamos que está en la Norte. Continuamos el proceso indefinidamente, construyendo en cada etapa una verja suficientemente fuerte alrededor de cada porción elegida. El diámetro de las porciones elegidas tiende a cero, y así el león quedará, finalmente, rodeado por una verja de perímetro arbitrariamente pequeño.

Método 4 (de Cauchy)
Consideremos una función analítica f(z) cuyo rango de valores es el conjunto de los leones del Sahara. Sea la jaula. Consideramos la integral

donde C es la frontera del desierto. Su valor es , es decir, un león en la jaula. Por el teorema de Picard, podemos cazar todos los leones, excepto uno.


Método 5 (de Schrödinger)

En un momento dado, existe una probabilidad positiva de que un león esté en la jaula. Siéntese y espere.

Método 6 (de Dirac)

Observamos que los leones salvajes son, ipso facto, no observables en el desierto del Sahara. En consecuencia, si hay leones en el Sahara, estarían domesticados. La captura de un león domesticado se deja como ejercicio para el lector.

Método 7 (termodinámico)

Construimos una membrana semi permeable, permeable a cualquier cosa excepto para los leones, y la pasamos por el desierto.

 

Estos 7 métodos están tomados del artículo de Pétard. Damos otros varios, mencionando la procedencia exacta.

Método 8 (quirúrgico)

Un león puede ser considerado como una variedad tridimensional orientable con frontera no vacía. Es conocido que por medio de una sucesión de operaciones quirúrgicas llamadas ”modificaciones esféricas” el león se contrae (contractible, en inglés). Entonces puede ser llevado a firmar un contrato (contract) con Barnum y Bailey. (Otto Morphy, Amer. Math. Monthly 75,1968, pp.185-187)

Método 9 (Lógico)

Un león es un continuo. Según el teorema de Cohen, es indecidible (en particular cuendo tiene que elegir). Dos hombres se le aproximan simultáneamente. El león, incapaz de decidir a qué hombre atacar, es capturado fácilmente. (Otto Morphy, Amer. Math. Monthly 75,1968, pp.185-187)

Método 10 (de Postnikov)

Un león macho es bastante peludo, y puede considerarse formado por fibras. Así, puede suponerse que el león es un espacio fibrado. Entonces podemos construir la descomposición de Postnikov del león. Una vez hecho esto, estando descompuesto el león, estará muerto, y necesitado urgentemente de entierro.(Otto Morphy, Amer. Math. Monthly 75,1968, pp.185-187).

Método 11 (de Teoría de Juegos)

Un león es un gran juego (juego de palabras intraducible; big game es caza mayor en inglés), así que, a fortiori, es un juego. Según Von Neumann, existe una estrategia óptima para ese juego. Sígala. (Otto Morphy, Amer. Math. Monthly 75,1968, pp.185-187).

Método 12 (de Mittag-Leffler)
El número de leones en el desierto del Sahara es finito, así que tal conjunto no tiene puntos de acumulación. Utilice el teorema de Mittag-Leffler para construir una función meromorfa con un polo en cada león. Al ser un animal tropical, se congelará si se coloca en el polo, y entonces podrá ser fácilmente capturado.(Patricia Dudley, G.T.Evans, K.D.Hansen, I.D. Richardson; American Mathematical Monthly, 75, 1968, pp. 896-897)

Método 13 (de la mecánica Analítica)

Ya que el león tiene masa no nula, tiene momentos de inercia. Agárrelo durante uno de ellos. (Patricia Dudley, G.T.Evans, K.D.Hansen, I.D. Richardson; American Mathematical Monthly, 75, 1968, pp. 896-897)

Método 14 (de Eratóstenes)

Enumérense todos los objetos del desierto; examínense uno por uno y descártense los que no sean leones. Un refinamiento permitirá capturar sólo los leones primos. (Incluido en una versión más amplia del artículo de Pétard, publicado en la revista inglesa Eureka).

Método 15 (Inducción hacia atrás)

Probaremos por inducción hacia atrás la proposición

L(n): ”Es posible capturar n leones”.

Esto es cierto para n suficientemente grande, porque los leones estarán empaquetados como sardinas en una lata y no se podrán escapar. Pero, trivialmente, L(n + 1) implica L(n), porque, si hemos capturado n + 1 leones, podemos soltar a uno de ellos. Luego L(1) es cierto. (John Barrington - seudónimo de Ian Stewart - 15 New ways to catch a lion, en Seven Years of Manifold, Ian Stewart y John Jaworski, eds. Cheshire, Shiva Publ. Ltd., 1981, pp.36-39)

Método 16 (de Bourbaki)

La captura de un león en el desierto es un caso especial de un problema mucho más general. Formule este problema y encuentre condiciones necesarias y suficientes para su solución. La captura de un león es ahora un corolario trivial de la teoría general, que ni siquiera tiene que ser enunciado explícitamente.(John Barrington - seudónimo de Ian Stewart - 15 New ways to catch a lion,en Seven Years of Manifold, Ian Stewart y John Jaworski, eds. Cheshire, Shiva Publ. Ltd., 1981, pp.36-39)

Método 17 (de las paralelas)

Seleccione un punto en el desierto y ponga un león amaestrado que no pase por ese punto. Hay tres casos a considerar:

a) la geometría es euclídea. Entonces hay un único león paralelo que pasa por el punto seleccionado. Agárrelo cuando pase.
b)la geometría es hiperbólica. El mismo método nos permite capturar un número infinito de leones.
c)la geometría es elíptica. No hay leones paralelos, así que todo león encuentra a cualquier otro. Siga a un león amaestrado y capture todos los leones que se encuentran con él : de esta forma se podrán capturar todos los leones del desierto. (John Barrington - seudónimo de Ian Stewart - 15 New ways to catch a lion,en Seven Years of Manifold, Ian Stewart y John Jaworski, eds. Cheshire, Shiva Publ. Ltd., 1981, pp.36-39)

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