| Ideas y Recursos para el Aula |
Competencias, matemáticas y resolución de problemas
J.A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
-Club Matemático-
La nueva Ley de
Educación expresa con claridad que “el currículo que en ella se presenta opta
por una enseñanza y aprendizaje de las matemáticas basados en el desarrollo de competencias”, y presenta un listado de las
mismas:
saber argumentar,
saber cuantificar,
saber analizar críticamente la
información,
saber representar y comunicar,
saber resolver y enfrentarse a
problemas,
saber usar técnicas e instrumentos
matemáticos,
saber modelizar,
saber integrar los conocimientos
adquiridos.
Y, además, indica con claridad que “La resolución de problemas es el mejor camino para
desarrollar estas competencias ya que es capaz de activar las capacidades
básicas del individuo, como son
leer
comprensivamente,
reflexionar,
establecer un plan
de trabajo,
revisarlo,
adaptarlo,
generar hipótesis,
verificar el ámbito
de validez de las soluciones, etc.
Y, a su vez, posibilita
experimentar,
particularizar,
conjeturar,
elegir un lenguaje
apropiado,
probar una conjetura,
generalizar,
utilizar distintas partes de
las matemáticas,
verificar una solución, etc.”
Y nos presenta este taxativo mensaje:
| Centrar la actividad matemática en la resolución de problemas es una buena forma de convencer al alumnado de la importancia de pensar en lo que hace y en cómo lo hace. |
Modelo El diagrama puede convertirse en un modelo utilizando cajas o tarjetas divididas
en secciones más 122 objetos (piedras, boliches, garbanzos, …) que representen
a los participantes. Este modelo puede ayudar a comprender y también ser
elemento de resolución.
II)
PENSAR
Hay nueve maneras de pensar (estrategias
o técnicas de pensamiento); tres son
de uso general: modelización, ensayo y error, organización de la información;
otras cuatro de uso particular: eliminar, ir hacia atrás, buscar patrones,
generalización; y otras dos auxiliares: analogía, simplificación.
Se trata, pues, de elegir las más convenientes para conseguir
el objetivo a través de la comprensión que hemos obtenido en el paso anterior.
La modelización es una
primera opción inmediata. Se ajusta al hecho de que podemos construir un modelo
de la situación que podremos manipular más tarde para resolverla.
También podremos realizar un ensayo
y error, basado en ir probando diferentes posibilidades para combinar las
mesas de los dos tipos (combinatoria) hasta
encontrar una distribución que se ajuste a las condiciones.
Parece evidente que cuando utilicemos la modelización habrá
que hacer ensayo y error al ejecutar dicha estrategia.
Pero también podremos organizar la
información utilizando lenguajes matemáticos
diferentes: operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) o
lenguaje algebraico (planteamiento de ecuaciones).
III)
EJECUTAR
La ejecución va a depender de la estrategia elegida. Los conocimientos matemáticos puestos en juego irán en
consonancia a las exigencias del modo de pensar seleccionado.
Si ha elegido modelización deberá proceder de la siguiente
manera:
1. Tomará los 122
objetos y los irá distribuyendo de 8 en 8 o de 6 en 6 sobre las cajas o
tarjetas según las etiquetas de las mismas.
2. Cuando los haya
repartido todos, comprobará si hay una caja o tarjeta que no esté totalmente
llena.
3. Tratará de jugar con
los últimos objetos cambiándolos de caja o tarjeta hasta ajustar y queden todos
los objetos distribuidos en cajas o tarjetas totalmente llenas.
4. Contabilizando las
cajas o tarjetas tendrá una solución
al problema.
Si ha elegido ensayo y error sin sistematizar deberá proceder
de la siguiente manera:
1. Proceder entonces por
ensayos organizados (hipótesis); por
ejemplo, considerar que 12 x
8 = 96 y que, por
consiguiente, utilizando todas las mesas de 8 plazas, faltarían aún 26 plazas
para las cuales 4 mesas de 6 plazas no serían suficientes y una quinta mesa de
6 plazas no sería utilizada completamente.
2. Disminuir entonces el
número de mesas de 8 plazas y darse cuenta (verificar)
que con 10 mesas de 8 plazas y 7 mesas de 6 plazas se consigue instalar la sala
según la pregunta.
3. Después de haber
hallado una primera solución, es necesario pensar que podría haber otras. Este
paso no es fácil que se dé. La búsqueda anterior agota y se dan por satisfechos
con una solución.
Si ha elegido ensayo y error procediendo de manera sistemática deberá añadir la organización
mediante el lenguaje aritmético y proceder de la siguiente manera:
1. Como comprende que ha
de realizar muchos cálculos del tipo: productos por 8 y por 6 que den como suma
122, se da cuenta que debe ser sistemático y utiliza una tabla de doble entrada como herramienta lógica para organizar los
distintos cálculos.
2. Diseñar la tabla con
las columnas adecuadas para cada concepto y las filas necesarias para los
distintos ensayos realizados.
3. Construir y rellenar una
tabla del tipo:
| Mesas de 8 | Personas colocadas | Personas por colocar | Mesas de 6 | Personas sobrantes |
| 12 | 12 x 8 = 96 | 122 – 96 = 26 | 26 : 6 = 4 | 26 – 4 x 6 = 2 Error |
| 11 | 11 x 8 = 88 | 122 – 88 = 34 | 34 : 6 = 5 | 34 – 5 x 6 = 4 Error |
| 10 | 10 x 8 = 80 | 122 – 80 = 42 | 42 : 6 = 7 | 42 – 7 x 6 = 0 Correcto |
| 9 | 9 x 8 = 72 | 122 – 72 = 50 | 50 : 6 = 8 | 50 – 8 x 6 = 2 Error |
| 8 | 8 x 8 = 64 | 122 – 64 = 58 | 58 : 6 = 9 | 58 – 9 x 6 = 4 Error |
| 7 | 7 x 8 = 56 | 122 – 56 = 66 | 66 : 6 = 11 | 66 – 11 x 6 = 0 Correcto |
| 6 | 6 x 8 = 48 | 122 – 48 = 74 | 74 : 6 = 12 | 74 – 12 x 6 = 2 Error |
| 5 | 5 x 8 = 40 | 122 – 40 = 82 | 82: 6 = 13 | 82 – 13 x 6 = 4 Error |
| 4 | 4 x 8 = 32 | 122 – 32 = 90 | 90 : 6 = 15 | 90 – 15 x 6 = 0 Correcto |
4. Seguir la búsqueda,
por ejemplo disminuyendo el número de mesas de 8 y aumentando el de mesas de 6.
Se obtienen tres posibilidades: 10 mesas de 8 plazas y 7 mesas de 6 plazas, 7
mesas de 8 plazas y 11 mesas de 6 plazas, o 4 mesas de 8 plazas y 15 mesas de 6
plazas. Alguno puede que incluso llegue a obtener 1 mesa de 8 plazas y 19 mesas
de 6 plazas.
Si ha elegido organización mediante el uso del lenguaje
aritmético deberá proceder de la siguiente manera:
1. Contar
el número total de plazas disponibles (12x8 + 12x6 = 148) y darse cuenta que es
necesario eliminar 46 plazas (148-122) por «mesas completas».
2. Hacer
esto eliminando 5 mesas de 8 personas y 1 de 6 plazas (8x5+1x6=46) o 5 mesas de
6 plazas y 2 de 8 plazas (6x5+8x2=46).
3. Por
tanto concluir que en el primer caso hay 7 mesas de 8 plazas (12-5) y 11 de 6
plazas (12-1), en el segundo caso 10 mesas de 8 plazas (12-2) y 7 mesas de 6
plazas (12-5).
Si ha elegido organización mediante el uso del lenguaje
algebraico deberá proceder de la siguiente manera:
1. Elegirá las etiquetas
x e y para representar, respectivamente, las cantidades desconocidas de mesas
de 8 y 6 plazas.
2. Escribirá la relación
que exige completar la etiqueta de 122 comensales al sumar las cantidades
sentadas en los dos tipos de mesas. Lo cual dará lugar a la siguiente ecuación
diofántica: 8x + 6y = 122.
3. Utilizará sus
conocimientos de este tipo de ecuaciones para encontrar
las soluciones ya apuntadas.
Ya vemos como este paso debe acabar con la consecución de la
solución o soluciones o, también, la imposibilidad de encontrar una solución.
Si no se encuentra solución pero se considera posible, habrá
que considerar la revisión del plan,
encontrar el origen del error y adaptar el plan
buscando otras estrategias que propicien un nuevo camino de resolución.
IV)
RESPONDER
Para transformar las soluciones en respuestas nos queda por
hacer, en este último paso del proceso y por parte de los alumnos exponiendo
ante sus compañeros, comunicando las
conclusiones del trabajo, dos aspectos fundamentales:
Comprobar Hacer la verificación
mediante las multiplicaciones y sumas adecuadas con los tipos de mesas de la
solución y comprobar en cada caso que da 122 como total
10 mesas de 8 plazas + 7 mesas de 6 plazas
= 80 + 42 = 122
7 mesas de 8 plazas + 11 mesas de 6 plazas
= 56 + 66 = 122
4 mesas de 8 plazas + 15 mesas de 6 plazas
= 32 + 90 = 122
1 mesa de 8 plazas + 19 mesas de 6 plazas =
8 + 114 = 122
Todas ellas verificadas y matemáticamente correctas.
Analizar cada solución en su contexto Mediante la reflexión sobre las condiciones del problema, se
ve que sólo las dos primeras de estas combinaciones es aceptable, porque no hay
más que 12 mesas de 6 plazas y en los otros dos casos se necesitarían 15 o 19,
respectivamente.
Concluir, pues, que hay dos maneras
posibles de preparar las mesas:
a) 10 mesas de 8 plazas
y 7 mesas de 6 plazas, o
b) 7 mesas de 8 plazas y
11 mesas de 6 plazas.
RESPUESTA: 10 mesas de 8 y 7 de
6; 7 mesas de 8 y 11 de 6, acompañada de su correspondiente
explicación.
Procediendo de esta manera ante cualquier situación
problemática presentada, el alumno adquiere soltura y seguridad para enfrentarse a cualquier problema real o
realista, integrando todos los conocimientos, procesos y actitudes
(competencias) adquiridos en su quehacer diario.
Este problema que hemos utilizado como ejemplo se ha tomado de
la 15ª edición del Rally Matemático Transalpino. Hemos destacado en color azul
todos los elementos que el alumno ha de aportar en las distintas fases del
proceso de resolución.
¿Y qué representan?
Pues las competencias o los elementos de las mismas que deben
aparecer para que puedan desarrollarse de una manera natural con su uso
frecuente y siguiendo un plan previamente establecido por el profesor. El
profesor que sabe, porque así lo ha planificado, todas las competencias (saber, saber
hacer y saber estar) que
deben ponerse en juego velará porque así suceda, y estará pendiente, si no
aparecen o tardan en aparecer, para guiar la acción y, en consecuencia, se
produzca lo deseado.
El profesor es, pues, el director del proceso y su animador,
interviniendo en los momentos justos para encarrilar la resolución cuando se ha
producido un estancamiento, pero dejando siempre que sea el alumno el que
aporte las ideas y su concreción posterior. Incluso de las ideas erróneas puede
salir un aprendizaje muy fructífero, siempre y cuando se sea lo suficientemente
flexible para esperar que los alumnos encuentren los fallos, los analicen,
busquen alternativas y reinicien el proceso de resolución.
Ahora es el momento de reconsiderar lo indicado por la Ley de
Educación y ver si lo que hemos visto al resolver este problema como ejemplo se
ajusta a lo deseable.
¿Pero qué es una
COMPETENCIA MATEMÁTICA?
“Consiste
en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones
básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático,
tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para
ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la
realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el
mundo laboral”.
Esta definición incluye: habilidad
para interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y
argumentaciones, el conocimiento y manejo de los conocimientos matemáticos
básicos, y la puesta en práctica de procesos de razonamiento que llevan a la
solución de los problemas o a la obtención de información. Aplicar esa
información a una mayor variedad de situaciones y contextos, seguir cadenas
argumentales identificando las ideas fundamentales, y estimar y enjuiciar la
lógica y validez de argumentaciones e informaciones. Habilidad para seguir
determinados procesos de pensamiento (como la inducción y la deducción, entre
otros) y aplicar algunos algoritmos de cálculo o elementos de la lógica, lo que
conduce a identificar la validez de los razonamientos y a valorar el grado de
certeza asociado a los resultados derivados de los razonamientos válidos.
Disposición favorable y de progresiva seguridad y confianza hacia la
información y las situaciones que contienen elementos o soportes matemáticos,
así como hacia su utilización cuando la situación lo aconseja, basadas en el
respeto y el gusto por la certeza y en su búsqueda a través del razonamiento
(1ª FASE: COMPRENDER).
Utilizar los elementos y
razonamientos matemáticos para enfrentarse a aquellas situaciones cotidianas
que los precisan. Por tanto, la identificación de tales situaciones, la
aplicación de estrategias de resolución de problemas, y la selección de las
técnicas adecuadas para calcular, representar e interpretar la realidad a
partir de la información disponible están incluidas en ella (2ª FASE: PENSAR).
Saber aplicar las
estrategias seguidas para resolver un problema a otras situaciones similares,
adoptando las medidas necesarias y adecuadas para solventar las diferencias (3ª
FASE: EJECUTAR).
Verificar las soluciones, situarlas en el contexto de la
situación problemática inicial, utilizar todos los medios de representación
disponibles para comunicar las respuestas obtenidas y poder, si así se cree
conveniente, generalizarlas o particularizarlas para cualquier situación real
relacionada con el problema resuelto (4ª FASE: RESPONDER).
No sería malo recordar lo que sabíamos con anterioridad acerca
de procedimientos, actitudes, valores y normas, con el fin de complementar la
parte menos evidente de los listados recompetencias. No olvidemos que toda
competencia conlleva un SABER, un SABER HACER y un SABER ESTAR. Si miramos en
cualquier catálogo de este tipo (puede servirnos cualquiera de los relacionados
con la LOGSE) veremos los siguientes:
Interpretación y utilización de distintos lenguajes: numérico,
gráfico, estadístico…
Clasificar, ordenar.
Formular conjeturas: búsqueda de regularidades y relaciones.
Método inductivo.
Utilización de algoritmos.
Resolución de problemas.
Elaboración y utilización en diferentes contextos de
estrategias personales.
Reconocer y valorar las formas del lenguaje.
Actitud interrogante y de investigación ante cualquier
situación, problema o información.
Valoración de diferentes recursos para resolver diferentes
situaciones problemáticas.
Planificación del trabajo.
Flexibilidad.
Interés y respeto ante distintos puntos de vista.
Gusto por la precisión, orden y claridad.
Tenacidad y perseverancia.
Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y
cuidadosa de todo tipo de trabajos.
Sensibilidad y gusto por la precisión.
Confianza en sus propias capacidades matemáticas.
Sentido crítico.
Esfuerzo en las tareas.
Interés por abordar situaciones
problemáticas.
Participación en actividades de grupo.
Buena relación con los demás.
Responsabilidad en las tareas asignadas.
Respeto y valoración de las opiniones de
los demás.
Compartir y aportar ideas para el
trabajo.
Transmitir la información a los demás de
forma ordenada e inteligible.
Pedir ayuda.
Respeto en el trato a los demás.
Ser ordenado en el trabajo.
Actuar de acuerdo con las normas.
Ayudar a los compañeros.
Mantener la atención.
Sentido crítico.
Expresar opiniones.
Fundamentar las opiniones de forma
coherente.
Mostrar creatividad.
Mostrar autonomía.
Es un buen listado, pero, como es natural, desordenado e incompleto.
Esto nos puede dar una idea de todo lo que hay que poner en marcha y cómo sólo
es posible si utilizamos una vía adecuada. Con el proceso que hemos explicado a
lo largo de la ejemplificación utilizada se puede apreciar cómo todo esto fluye
de una manera natural en la resolución de problemas. Y no parece imposible
conseguirlo. De hecho, así se está trabajando en muchos Centros de Primaria
(Proyecto de Enseñanza Activa de las Matemáticas) y también de Secundaria.
Hay que seguir enseñando conocimientos, usando
ejemplificaciones, ejercitando a los alumnos en los procesos y técnicas de
trabajo, pero también es necesario dedicar tiempo, al menos una vez en semana,
a la resolución de problemas como camino recomendado por la propia Ley para
desarrollar con equidad TODAS las competencias que se han señalado para TODOS
los alumnos de nuestros Centros educativos.
Y será una gran felicidad. Felices nuestros alumnos y felices
nosotros porque ellos lo son. Y la matemática dejará de estar en la cola en el
aprecio de nuestros alumnos y de la sociedad que ellos, finalmente,
protagonizarán.
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
El Club
Matemático está formado por los profesores
José Antonio
Rupérez Padrón, del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna), y
Manuel García
Déniz, del
IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife).
mgarden@gobiernodecanarias.org
/ jruppad@gobiernodecanarias.org
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