Problemas Comentados (XX)
J.A. Rupérez
Padrón y M.García Déniz
-Club Matemático-
Los tres problemas que vamos a comentar los hemos
extraído de las pruebas correspondientes al 12º RALLY MATEMÁTICO TRANSALPINO,
Prueba I, enero-febrero 2004. Ya hemos traído varios problemas de este origen a
nuestras páginas. Están muy bien concebidos y con pequeñas adaptaciones pueden
ser utilizados en muy diferentes niveles educativos. En el Torneo de la
Sociedad hemos utilizado algunos, como es el caso del primero que proponemos
hoy:
EL RESTAURANTE CHINO
La enseña del
restaurante chino « La serpiente roja » es una larga serpiente roja en el
interior de un rectángulo dorado.
Esta figura es
una reproducción fiel de la enseña:
¿Cuánto mide la
superficie ocupada por la serpiente?
Dad vuestra
respuesta y explicad vuestro razonamiento.
Comentarios y Solución:
Se trata de un
problema que une Geometría (círculo y corona circular) y Medida de una forma
muy interesante, permitiendo distintas maneras de abordar la resolución y el
uso de diferentes estrategias de pensamiento.
Es curioso cómo los
chicos y chicas de pensamiento más elemental enseguida ven como una buena
salida la idea de “estirar” la serpiente y utilizar las medidas que aparecen
adosadas al dibujo para dar una “estimación” de la longitud de la serpiente y,
como consecuencia, de su superficie.
Otros tratan de ver
la cantidad de “cuadraditos” que cubre el cuerpo de la serpiente y utilizar el
cuadradito como unidad de medida de superficie. Generalmente hacen también una
estimación. En el mejor de los casos, componen los cuadraditos incompletos unos
con otros para tener cuadraditos completos.
Otros, los que
poseen más conocimientos, tratan de ver figuras geométricas cuyas superficies
calculan con las fórmulas conocidas y , con una suma final, obtener la
superficie total.
¿Cuál será la mejor
forma de proceder? La de siempre, utilizar el proceso de resolución que estamos
exponiendo una y otra vez, la estrategia general de cuatro fases: Comprender, Pensar,
Ejecutar y Responder.
I) En primer lugar, la bandera en sí es un rectángulo de 350 cm x 90 cm
que está dividido en cuadrados. Al contarlos sobre el dibujo, encontramos 35
cuadrados a lo largo y 9 cuadrados a lo ancho lo cual nos indica que tienen
unas dimensiones de 10 cm de lado, o sea, de 10x10 = 100 cm2 = 1 dm2
.
El cuerpo de la
serpiente está formado por dos semicírculos equivalentes (cabeza y cola) y por
seis medias coronas circulares, equivalentes dos a dos. Los dos semicírculos
tienen un radio de 10 cm. Las medias coronas circulares de menor tamaño tienen
radio interior de 10 cm y exterior de 20 cm; las medianas tienen radio interior
de 20 cm y radio exterior de 30 cm; las de mayor tamaño tienen radio interior
de 30 cm y exterior de 40 cm.
El objetivo es averiguar la superficie
ocupada por la serpiente.
La relación observable, a partir de la
estructura indicada anteriormente, es que al unir adecuadamente todas las
partes de la serpiente podemos obtener una figura nueva completa y reconocible:
un círculo.
II) Organizando
la información de manera conveniente y utilizando los conocimientos sobre el
círculo podremos abordar la resolución del problema.
III) Tenemos, pues, un nuevo círculo obtenido colocando el círculo pequeño
y las coronas circulares alrededor de él de manera sucesiva, cuyo radio
coincide con el exterior de la corona de mayor tamaño, es decir, 40 cm.
Recurriendo a la
expresión que determina el área del círculo a partir del valor de la medida de
su radio, tendremos: S = p R2 cm2 = p · 402
cm2 = 1600 p cm2 = 16 p dm2 .
IV) Podemos comprobar el resultado a partir de la comprobación con las
estimaciones hechas contando cuadraditos y completándolos. Para ello es preciso
también aproximar el resultado obtenido mediante el uso de decimales y la
aproximación p = 3,14 (S ˜ 50,24 dm2, es decir, algo
más de 50 cuadraditos.
También se puede
proceder a calcular las áreas de las coronas y el círculo pequeño, para
sumarlas después. Es más complejo, pero puede servir para ver otras maneras de
trabajar y apreciar el valor del camino elegido.
Hay un buen
análisis que hacer con los chicos y chicas. Las aproximaciones que hagan serán
siempre muy diferentes al cálculo exacto y será bueno reflexionar sobre la
importancia del conocimiento cuando tratamos de averiguar la exactitud de las
medidas y la casi absoluta imposibilidad de obtenerla a partir de
observaciones, aproximaciones, estimaciones o medidas directas. E, incluso,
meditar sobre la aparición del valor p y la necesidad de su aproximación
decimal en la realidad, pero no así sobre el papel, donde podemos manejar su
valor “exacto” hasta el final.
En cualquier caso
podemos concluir que la respuesta es: la
superficie ocupada por la serpiente es de 1600 p cm2 = 16
p dm2 ˜ 50,24 dm2.
¡QUÉ FAMILIA!
Los señores
Bernier tienen 5 hijos cuyas edades son números pares diferentes. La suma de
las edades de las tres hijas es igual a 30 años. La suma de las edades de los
chicos es igual a 14 años. La suma de las edades de los dos hijos mayores es
igual a 26 años. La suma de las edades de los dos hijos más jóvenes es igual a
10 años.
Indicad la edad
de cada hijo y precisad si se trata de un varón o una hembra.
Explicad vuestro
razonamiento e indicad todas las respuestas posibles.
Comentarios y Solución:
En este problema va
a aparecer la Aritmética (adición), pero también la Lógica (deducciones) y la
Combinatoria.
I) Comprender que es necesario tomar en cuenta
todas las condiciones y deducir que, si la suma de las edades de los dos
mayores y de los dos más jóvenes vale 36 el niño « del medio » tiene 8 años (30
+ 14 - 36 = 8).
Deducir que los dos
más jóvenes tienen 4 y 6 años.
- Hacer la
hipótesis (I) que el niño de 8 años es un varón, el otro niño tendría entonces
6 años y la hija más joven 4 años.
Los dos mayores
serían entonces hembras y tendrían 16 y 10 años o 14 y 12 años.
- En la hipótesis
(II) con el niño de 8 años es una hembra, los 2 más viejos serían 1 hembra y 1
varón y los 2 más jóvenes también. Puesto que una hembra tiene 8 años, las
otras dos deben tener juntas 22 años. Una solución es 22 = 16 + 6, que conduce
a 16, 8, 6 años para las hembras y 10 y 4 años para los dos varones. La segunda
posibilidad, 22 = 18 + 4 no conviene de hecho ya que la suma de las edades de
los varones debe ser.
- Concluir que hay
tres soluciones posibles : I) varones de 8 y 6 años, hembras 14, 12, 4 años;
I') varones de 8 y 6 años, hembras de 16, 10, 4 años; y II) varones de 10 y 4
años, hembras de 16, 8, 6 años.
IV)
Las 3 soluciones (H 16, H 10, V 8, V 6, H 4; H 16, V 10,
H 8, H 6, V 4; H 14, H 12, V 8, V 6, H 4) con explicaciones.
EL CUADRO ROBADO
El inspector
Derrick debe descubrir los responsables del robo de un célebre cuadro del siglo
XVI.
Los sospechosos
son cuatro personajes bien conocidos por la policía: Bernardo “el marcado”,
Carlos el “vagabundo” y los hermanos Augusto y Dante.
El inspector los
interroga a los cuatro y recoge sus declaraciones:
. Augusto: Bernardo no ha
robado el cuadro.
. Carlos: El robo no ha sido
cometido por Dante.
. Bernardo: El ladrón es
uno de los dos hermanos.
. Dante: Yo no he sido.
El inspector
sabe que uno solo de ellos ha mentido.
¿Quién ha robado
el cuadro?
Dad vuestra
respuesta y justificad vuestro razonamiento.
Comentarios y Solución:
Este es un problema
donde la Lógica (negación, implicación, deducción) es el contenido exclusivo.
I) Observar que Carlos y Dante dicen los dos la misma cosa y por ello ni
uno ni otro pueden haber mentido porque habría dos mentirosos.
- Deducir que el
mentiroso es bien Augusto, o bien Bernardo. Si Augusto es el mentiroso, el
culpable sería Bernardo, pero esto contradice la afirmación (verdadera) de este
último, según la cual el culpable es uno de los hermanos.
- Concluir que es
Bernardo el mentiroso y que, por consiguiente, el cuadro ha sido robado por
Carlos o por Bernardo mismo.
Según la afirmación
de Augusto, el ladrón es Carlos.
O :
- Proceder
sistemáticamente a suponer que, cambiando de papel, cada uno de los cuatro sea
el mentiroso y descubrir que no es sino en la hipótesis de que Bernardo es el
mentiroso no se llega a una contradicción. Deducir entonces que Carlos es el
ladrón.
O :
- Proceder
sistemáticamente a suponer que, cambiando el papel, cada uno de los cuatro sea
el ladrón y descubrir que solamente la hipótesis de que Carlos es el ladrón no
conduce a ninguna contradicción.
IV) Carlos, con explicación de las
deducciones.
Respuestas a los anteriores:
Las edades de las hijas del rey
y los prisioneros.
Un rey (que alimenta una secreta pasión por las matemáticas) tiene dos
hijas; sus edades están expresadas como números enteros positivos. Hay dos
prisioneros, M y S, a cada uno de los cuales se le da, separadamente, una sola
información:
-
al prisionero S se le comunica la
suma de las edades de las dos hijas,
-
al prisionero M se le comunica el
MCD de las edades de las dos hijas.
El rey convoca juntos a los dos prisioneros y promete liberar al que
acierte a determinar las dos edades.
S sacude tristemente la cabeza: “No, majestad, no estoy capacitado para
establecer las edades de sus hijas: estoy dudando entre 5 posibilidades”.
Oída esta respuesta, M hace rápidamente algunos cálculos, después
sonríe y afirma: “Majestad, yo conozco las edades de sus hijas”.
Al fin, también S, oída la última respuesta, dice: “Ahora también yo sé
las dos edades”.
¿Cuántos años tienen las hijas del rey?
SOLUCIÓN:
El hecho de que S esté inseguro entre 5
posibilidades, significa que la suma es 10 o bien 11. Elegimos las parejas de
números enteros positivos que tienen esta suma, escribiendo al lado el MCD de
cada una:
Suma 10 Suma 11
(1, 9) 1 (1, 10) 1
(2, 8) 2 (2, 9) 1
(3, 7) 1 (3, 8) 1
(4, 6) 2 (4, 7) 1
(5, 5) 5 (5, 6) 1
Como inciso, notemos que la columna
correspondiente al caso de suma 11 está formada por números todos iguales a 1.
Es fácil convencerse de que esta circunstancia depende del hecho de que 11 es
primo. En general, un número n es primo si y solo si, como quiera que se
descomponga en la suma de dos enteros positivos a y b, se tiene MCD (a, b) = 1.
De hecho, si a y b tuviesen un divisor común h > 1, también n = a + b sería
un múltiplo de h y por tanto no sería primo; viceversa, si n = h·k (con h,
k>1), entonces MCD (h, n-h) = h.
Volvamos al problema. Sabiendo que la pareja
buscada es una de las citadas en el esquema precedente, M afirma conocer la
respuesta: esto significa que el MCD conocido por M aparece una sola vez en el
esquema. El único número no repetido es 5, y por tanto se concluye que ambas
hijas del rey tienen 5 años.
Las edades de las hijas del rey
y los prisioneros (2).
Dejando invariable todo el cuento, sustituimos la primera respuesta de
S con la siguiente:
S sacude tristemente la cabeza: “No, majestad, no estoy capacitado para
establecer las edades de sus hijas: estoy dudando entre 4 posibilidades”.
SOLUCIÓN:
Esta vez, según S está dudando entre 4
posibilidades, la suma de las edades es 8 o bien 9; y el esquema se convierte
en el siguiente:
Suma 8 Suma 9
(1, 7) 1 (1, 8) 1
(2, 6) 2 (2, 7) 1
(3, 5) 1 (3, 6) 3
(4, 4) 4 (4, 5) 1
A diferencia del caso anterior, hay ahora tres
números que aparecen una sola vez en la columna de los MCD: M está en
disposición de responder en el caso en el cual el único número es 2, pero
también en el caso en el cual tal número es 3, y asimismo en el caso en que le
ha sido comunicado el número 4.
Se convierte entonces en importante explotar
la última afirmación de S, que a su vez declara haber determinado las dos
edades: esto significa que la suma conocida por S corresponde a una columna en
la cual hay solamente un número que aparece una sola vez. Se concluye que la
suma es 9 y las edades pedidas son 3 y 6.
Hemos aprovechado el hecho de que en la
columna relativa a la suma 9 aparece uno y solo un número distinto de 1. Ésta
es una peculiaridad del número 9, compartida solamente por el número 4 (en el
cual, por otro lado, la situación se banaliza): para todos los otros números n,
si n no es primo se demuestra que en la columna de los MCD aparecen al menos
dos números distintos de 1.
Esta observación permite reformular el último
problema con la ambientación de la pregunta inicial, en términos ciertamente
enigmáticos.
La redistribución de la
mercancía.
(A
Mathematical Jamboree, de Brian Bolt)
Una empresa de venta de coches dispone de siete locales de exposición y
venta que vamos a nombrar con las letras A, B, C, P, Q, R y S,. Pero se
encuentra con un exceso de existencias en A, B y C mientras que le faltan
coches en los otros locales. Exactamente los excesos y defectos son:
A: +9 coches; B: +6 coches; C: +8 coches
P: -5 coches; Q: -7 coches; R: -3 coches y S: -8
coches.
Ahora bien, el mover los coches de un local a otro les
supone unos gastos que vienen dados (en €) en la siguiente tabla:
Y se trata de conseguir la redistribución de los
coches con el mínimo de gastos. ¿De qué manera?
Una forma de redistribuir los
coches es la siguiente:
Donde, por ejemplo, el 2 situado en la intersección de A y R significa
que movemos dos coches desde A hasta R. Al final de los traslados tendremos 9
coches menos en A, 6 en B y 8 en C; mientras que aumentamos en 5 los coches en
P, 7 en Q, 3 en R y 8 en S, de acuerdo con las condiciones iniciales del
problema.
¿Pero cuánto han supuesto estos traslados? Lo podemos resumir en la
tabla siguiente:
Podemos ver que el coste total es de 1130 €. También figuran los
gastos por cada punto de venta y podemos saber que los vehículos movidos desde
A costaron 440 € y los movidos a R 170 €, por ejemplo.
Pero esta no es la mejor solución. Una estrategia a la que nos conduce
el método de prueba y error consiste en ir tomando las rutas más económicas
primero. Así para el envío de los 9 vehículos que sobran en A, lo más
económico es enviar el máximo posible a Q (con un coste de 20 € por coche), y
el resto a S (con un coste de 40 €) lo que supone un total de 220 €.
Si hacemos lo mismo
en la siguiente fila enviaríamos, con el coste de 210 €, 6 vehículos:
Y nos quedarían para
los coches remitidos desde C la siguiente fila de datos:
En total habremos
gastado 790 €, que supone una notable mejoría sobre los 1130 € de la
primera solución. Y esta parece ser la solución del problema propuesto.
Les ofrecemos ahora, como de
costumbre, algunos problemas más para disfrutar resolviéndolos. Del mismo Rally
que los problemas del inicio de este artículo son los siguientes.
COLOREADO RARO (Cat. 5, 6, 7)
Máximo ha coloreado una cuadrícula
respetando, para cada línea, una regla de coloreado diferente:
Ha coloreado ya correctamente las 15 primeras
columnas. Constata que las columnas 1, 9 y 13 están completamente coloreadas.
Continúa el coloreado más allá de la columna 16.
¿La columna 83
estará completamente coloreada? ¿Y la columna 265?
Explicad cómo habéis hallado la solución.
JUEGO DE CARTAS (Cat. 7, 8)
Lucas y sus amigos juegan a las cartas con un mazo de 52, compuesto de
4 series de cartas numeradas de 1 a 13. Para este juego se giran 4 cartas, a
cara descubierta, y se forma un mazo con las otras cubiertas.
Por turno, cada jugador toma la carta superior del mazo y, cuando es
posible, toma las cartas descubiertas cuya suma corresponda al número de la
carta tomada del mazo. Por ejemplo, si se toma un " 8", se puede
tomar una carta descubierta " 8" o bien dos, tres o cuatro cartas
descubiertas cuya suma sea 8.
Le toca a Lucas. Él observa las cuatro cartas descubiertas y dice,
antes de tomar la carta del mazo, "soy afortunado, estoy seguro de poder
tomar al menos una de las cartas descubiertas".
¿Qué números se
pueden escribir con estas características?
Explicad cómo los
habéis hallado.
CIFRAS MÓVILES (Cat. 7, 8)
Un número de 4 cifras es tal que:
- las cifras que lo componen son todas distintas entre sí y de 0
- colocando las unidades en el lugar de los millares, las decenas en el
lugar de las centenas, las centenas en el lugar de las unidades, los millares
en el lugar de las decenas se obtiene un número que sumado con el de partida da
9613.
¿Qué números se
pueden escribir con estas características?
Explicad cómo los habéis hallado.
¿TARTAS: GRANDES O PEQUEÑAS? (Cat. 8)
Cada domingo, la señora Boulanger prepara su
masa con huevos, azúcar, mantequilla y harina y llena hasta el borde un molde
cilíndrico.
Una vez horneado, le sale un excelente
pastel.
Pero hoy, con la misma cantidad de masa, hace
muchos pequeños pasteles en lugar de un único gran pastel, utilizando moldes
cuyo diámetro y altura son la mitad del que utiliza habitualmente.
¿Cuántos
pequeños pasteles obtendrá con la misma cantidad de masa?
Explicad vuestro razonamiento.
Y ahora un bonito problema de investigación que nos ha diseñado nuestro
buen amigo José Fernando Rodríguez. Hace referencia al bono de tranvía y
autobús de la zona metropolitana de Tenerife, pero seguro que puede utilizarse
en cualquier sitio del mundo (cambiando, naturalmente, la cantidad de cifras
del código).
EL BONO VÍA (GUAGUA+TRANVÍA)
Cuando se introduce
el Bono Vía en la máquina de validación del viaje, se graba en él un código
numérico de diecinueve cifras partido en dos bloques: un primero de siete y un
segundo de doce, separados por un espacio en blanco. ¿Qué significan?
Sugerencias de
trabajo: ¿Qué información debe contener? ¿A quién interesa? Poner algunos casos.
De ahí extraer los bloques de información posibles: localización temporal y
localización física. Investigar. Hacer hipótesis. Verificarlas. Soluciones
posibles. Predicción. Comprobación. Hay todo un campo muy interesante para
trabajar. Es importante disponer de algunos bonos usados para la parte de
observación e investigación y un par de ellos nuevos para la parte de
exploración, predicción y verificación.
Y aquí queda todo de momento.
Háganos caso. Escriban mensajes a esta sección y cuenten sus soluciones y
experiencias o, si lo prefieren, propongan sus propios problemas. Como siempre,
aguardamos sus noticias a la espera del próximo NÚMEROS.
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
El Club Matemático está
formado por los profesores
José Antonio Rupérez
Padrón, del
IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna), y
Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte
(Santa Cruz de Tenerife).
mgarden@gobiernodecanarias.org
/ jruppad@gobiernodecanarias.org
